高等代数理论基础58：初等因子

初等因子

初等因子

定义：将矩阵A(或线性变换)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换)的初等因子

例：设12级矩阵的不变因子为

由定义,它的初等因子有7个

其中出现三次,出现二次

不变因子与初等因子

假设已知n级矩阵A的不变因子

将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积

则其中对应于的那些方幂即A的全部初等因子

不变因子一个除尽一个,即

故

故在的分解式中,属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质

即

同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必出现在的分解中

方次次高的必出现在的分解中

顺推下去

可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置唯一确定

从初等因子和矩阵的级数唯一作出不变因子的方法：

设一个n级矩阵的全部初等因子为已知,在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列,且当这些初等因子的个数不足n时,在后面补上适当个数的1,使得凑成n个

设所得排列为

令

则为A的不变因子

注：若两个同级的数字矩阵有相同的初等因子,则它们有相同的不变因子,因而相似,反之若两个矩阵相似,则它们有相同的不变因子,因而它们有相同的初等因子

定理：两个同级复数矩阵相似的充要条件为它们有相同的初等因子

初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量,但初等因子的求法更方便

求初等因子

若多项式都与互素,则

令

显然

又,故

故

又

令

其中

由,故

由,故

故

同理,故

于是

引理：设

若多项式都与互素,则和等价

证明：

定理：首先用初等变换化特征矩阵为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)即A的全部初等因子

证明：